他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。

定义3：两个整数和n是孪生素数对，若且唯若：

1φ和φ都是x中的“算术奇点”

其中2是所有p进分量差异的加权和。

如果和n是孪生素数对，比如3和5，那么对於大多数素数p，|3—5|_p=|—2|_p。

因为Σw发散，所以这个和发散。

所以3和5在加权度量下的距离是无穷大

肖宿皱起眉头。

不对，这样定义有问题。

他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个p，|—n|_p=1。

加权和自然发散。

需要修改。

也许不是所有p都计入

也许只有那些对“区分”和n有贡献的p才计入

肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

定义2在实际计算中，应该只考虑那些|—n|_p≠0的p，即p不整除—n。

所以d,φ)正比於这些p的权重和。

当—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

减去发散项，留下有限部分。

肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。

在这里也可以用同样的方法。

这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

肖宿开始估算这个值。

两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。

乘以后，仍然logp，求和发散。

又卡住了。

肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。

也许w需要重新设计。

但这样在之前的有理点估计中就不够用了。

他陷入了沉思。

窗外传来远处的汽车声，很轻，像是从另一个世界飘来的。

等等。

肖宿突然想到一种可能性。

也许孪生素数的本质特徵在於，φ和φ在x中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。

他想起自己在顾—辛框架中定义的“孪生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。

如果把这个概念移植过来

孪生结构的定义是设是一个辛流形，l1和l2是两个拉格朗日子流形。

现在，把x看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。

那么，孪生素数对对应於一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联繫。

这个辛同胚是什么

肖宿放下笔沉思了会儿。

在x中，这个平移应该对应於一个变换t，它在每个p进分量上的作用是t=x+2。

t是一个辛同胚吗在顾—辛框架的辛结构中，平移確实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。

所以t是辛同胚。

那么t2就是平移4，不是恆等映射。

肖宿继续思考。

这不可能。

这有点像辛几何中的某种对偶关係。

也许这就是关键。

肖宿开始重新表述问题。

在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恆量、层次结构指数、可计算性度量。

对於x这个特殊的辛流形，它的旋转守恆量应该与素数分布有关。

如果我能够证明，在x中，由孪生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恆量，那么这个守恆量的存在就会强制要求孪生素数有无穷多对，就像角动量守恆强制要求旋转体不能停止一样。

这个想法让肖宿眼前一亮。

他继续在纸上推导起来。

第一步就是构造x上的辛形式。

这需要用到顾—辛框架中的標准方法，通过对每个p进分量赋予一个权重，然后取某种直和。

权重係数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，並且使得平移变换保持Ω。

所以需要衰减得更快。

好，就用这个。

第二步是定义孪生结构。

那么对於孪生素数对，我们有一对点。

这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。

考虑对合变换s:x—x。

s也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。

这个变换的平方是

这不是恆等映射。

有点乱。

肖宿意识到，可能还需要更系统的分析。

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